Demonstratie. Dat modul in care am decis sa construim quadtreeul, fiecare nod interior acopera cel putin k+1 puncte. Astfel, pentru orice punct i, aflat in frunza f, nodul parinte(f) are cel putin k puncte diferite de i. Toate aceste puncte se afla la o distanta fata de i mai mica sau egala de distanta
9 Axiomele unghiului A IV sau UU 13 : Dacă U este mulţimea unghiurilor din 0 şi m hk U m hk: [0;180] o este funcţia măsură – în – grade a unghiurilor, atunci m satisface axiomele: U 1. m AOB 0 dacă şi numai dacă AOB este un unghi nul. m AOB 180 dacă şi numai dacă este un unghi alungit. U 2 (axioma raportorului). Drepte și puncte remarcabile în triunghi Mediatoarea. Mediatoarea este dreapta perpendiculară pe un segment dusă prin mijlocul acestuia. Mediatoarele celor trei laturi ale triunghiului se numesc mediatoarele triunghiului. Mediana. Mediana este segmentul de dreaptă care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Înălțimea Testul celor 9 cerinte: REZULTATE. 1. Scara simbolizeaza Parcursul tau profesional. Urcarea scarii este asociata cu realizarile profesionale si progresul, in timp ce coborarea ei inseamna opusul. 2. Casa pe care o vezi simbolizeaza Moartea. Daca ai intrat in casa inseamna ca accepti ideea mortii si o vezi ca pe un proces natural. Cercul celor nou puncte al lui Euler Fiind dat un triunghi , alegem cercul cercului circumscris triunghiului ca fiiind originea planului complex i fie coordonatele vrfurilor . Coordonata ortocentrului este . Notm cu mijloacele laturilor , cu picioarele nlimilor i cu mijloacele segmentelor , respectiv . Punctele trei puncte A, B, C sunt coliniare daca si numai daca : x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 = 0 ecuatia cercului care trece prin trei puncte A,B si C necoliniare : cerc : x2 + y2 x y 1 x2 A + y 2 A x A y A 1 x2 B + y 2 B x B y B 1 x2 C + y 2 C x C y C 1 = 0 ecuatia tangentei la cercul x 2+ y + mx + ny + p = 0 in punctul A(x A;y A) se obtine prin
Cercul lui Euler (cercul celor 9 puncte) Autor: Sorin Borodi. Subiect: Cerc, Construcții, Geometrie, Matematică, Ortocentru, Triunghiuri
trei puncte A, B, C sunt coliniare daca si numai daca : x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 = 0 ecuatia cercului care trece prin trei puncte A,B si C necoliniare : cerc : x2 + y2 x y 1 x2 A + y 2 A x A y A 1 x2 B + y 2 B x B y B 1 x2 C + y 2 C x C y C 1 = 0 ecuatia tangentei la cercul x 2+ y + mx + ny + p = 0 in punctul A(x A;y A) se obtine prin 1. Se considerd cercul % (O,R) qi un punct C exterior cercului. Prin punctul C se duce secanta CBA qi tangenta CD la cercul dat. Pe cercul V (Or,R,) circumscris triunghiului CBD se considerd punctul E astfel incAt CD = CE ' Sd se arate cd punctele A, D gi E sunt coliniare. Demonstra{ie: Presupundnd cd punctele A, D,,n(Enc)=*(nrc) deoarece cD = cE Matematică pentru începători, extrem de amănunțită, scrisă de un profesor de matematică dedicat elevilor neglijați în școală. b. în doua puncte si se numeste secanta - tangenta la cerc este perpendiculara pe raza cercului în punctul de contact; - se numeste unghi înscris în cerc, unghiul cu vârful pe cerc si care are ca laturi doua coarde;
GeoGebra aplicatia 2. Constructia cercului celor noua
Puterea unui punct fata de un cerc. Aceasta nota aduce in atentie chestiuni geometrice deloc noi,dar care adunate cu grija poate ca aduc un mic ajutor celor care se pregatesc pentru diverse concursuri scolare si un pic de bucurie tuturor celor care nu au uitat frumusetea geometriei sintetice la ale carei nestemate , prea usor parca , am renuntat in matematica de liceu. Curs masterat 2010 - LinkedIn SlideShare